Normalization

นอร์แมลไลเซชั่น

ในการหาค่าคงที่

และ ฟังก์ชั่นไอเกนนอร์แมลไล (Normalized eigenfunction) จะใช้เงื่อนไขการนอร์แมลไลเซชั่น(Normalization condition) เมื่อ $|\psi(x)|^{2}$ มีความหมายเป็น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาค(Probability density) ในขณะที่ $|\psi(x)|^{2} dx$ คือโอกาสที่จะพบอนุภาคในช่วง

ถึง

หากต้องการหาโอกาสที่จะพบอนุภาคในทุก ๆ ที่ในปริภูมิ จะได้ว่า

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2} \, \mathrm{d}x = 1$ (15)

การแทนขอบเขตของการอินทิเกรตเป็น $[-\infty, \infty]$ คือการหาโอกาสที่จะพบอนุภาคในทุกบริเวณของปริภูมิ และผลที่ได้ต้องมีค่าเท่ากับ 1 หมายความว่าถ้ามีอนุภาคอยู่ในปริภูมิ ต้องมีโอกาสที่จะหาพบได้ในที่ใดที่หนึ่งในปริภูมินั้นแน่นอน สำหรับกรณีบ่อศักย์อนันต์ จะได้ว่า

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}|\psi_{n}(x)|^{2} dx = |A|^{2} \int\limits_{0}^{L} \sin^{2} \left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, \mathrm{d}x = 1$ (16)

ขอบเขตของการอินทิเกรตเหลือเพียง

เนื่องจาก ที่บริเวณอื่น ๆ ฟังก์ชั่นคลื่นมีค่าเป็นศูนย์
โดยการใช้เอกลักษณ์ของตรีโกณ

$\sin^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

จะได้ว่า

$|A|^{2} \int\limits_{0}^{L} \sin^{2} \left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, \mathrm{d}x = |A|^{2} \int\limits_{0}^{L} \frac{1 - \cos \left(2 \frac{n\pi x}{L}\right)}{2} \, \mathrm{d}x$

$\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, = |A|^{2} \frac{L}{2}$ (17)

ดังนั้น ค่าคงที่ของการนอร์แมลไล คือ

$A = \sqrt{\frac{2}{L}}$ (18)

และฟังก์ชั่นไอเกนนอร์แมลไล เขียนได้เป็น

$\psi_{n}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L} \right)$ (19)

เมื่อ $0 \leq x \leq L$ โดยฟังก์ชั่นคลื่นหรือฟังก์ชั่นไอเกนนอร์แมลไลที่ได้นี้มีได้หลายค่า ขึ้นอยู่กับค่า

ดังนั้น $\psi_{n}(x)$ จึงเรียกชื่อในทางกลศาสตร์ควอนตัมว่า "สถานะ (state)" ฟังก์ชั่นคลื่นที่ค่า

แต่ละค่า จะเป็นตัวแทนของแต่ละสถานะของระบบ ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ดังตัวอย่างในภาพที่ 2

ภาพที่ 2 : แสดง 3 สถานะแรกของอนุภาคมวล m ที่โดนขังอยู่ภายในบ่อศักย์อนันต์

เมื่อเส้นกราฟคือรูปร่างของฟังก์ชั่นคลื่น ในขณะที่แถบสีแสดงถึงความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของแต่ละบริเวณที่จะพบอนุภาคภายในบ่อ

ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นสถานะที่

จะมีความหนาแน่นที่บริเวณตรงกลางและหนาแน่นน้อยลงที่บริเวณส่วนขอบแต่ละข้าง นั่นคือโอกาสที่จะพบอนุภาคในบริเวณส่วนกลางของบ่อมีมากที่สุด ในขณะที่สถานะที่

และ

การกระจายของความหนาแน่นภายในบ่อจะแตกต่างกันออกไป

Infinite square well (particle in a box) - Slide.

[1] The Schrodinger equation in 1 D
[2] Infinite square well potential
[3] Solution of TISE
[4] Boundary condition
[5] Normalization
[6] Energy

RINTARN SAENGSAI

Search This Blog

Normalization

นอร์แมลไลเซชั่น