Solution of TISE

ผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์

พิจารณาหาผลเฉลยทั่วไปของสมการชเรอดิงเงอร์ในแต่ละบริเวณ ดังนี้

บริเวณ $\mathbf{I} (x < 0 , V = \infty)$

$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \, \dfrac{d ^2 \psi_{I}(x)}{d x^2}+(\infty)\psi_{I}(x) = E\psi_{I}(x)$

เนื่องจากพลังงานศักย์มีค่าเป็นอนันต์ ทำให้เทอม $V(x)\psi_{I}(x)$ มีค่าใหญ่กว่าเทอมอื่นมาก ๆ จึงสามารถตัดเทอมอื่นทิ้งได้ จะได้ว่า

$V(x)\psi_{I}(x) = 0$

แต่เนื่องจาก $V(x) \neq 0$ ดังนั้น

$\psi_{I}(x) = 0$ (7)

บริเวณ $\mathbf{III} (x > 0 , V = \infty)$

$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \, \dfrac{d ^2 \psi_{III}(x)}{d x^2}+(\infty)\psi_{III}(x) = E\psi_{III}(x)$

ทำนองเดียวกันกับบริเวณที่ $\mathbf{I}$ จะได้ว่า

$\psi_{III}(x) = 0$ (8)

จะเห็นว่าบริเวณภายนอกบ่อมีฟังก์ชั่นคลื่นเป็นศูนย์ทั้งสองบริเวณ เมื่อหาค่า $|\psi(x)|^{2}$ หรือ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาค(Probability density) ย่อมมีค่าเป็นศูนย์ด้วย สอดคล้องกับสถานการณ์ที่เมื่ออนุภาคถูกกักขังอยู่ภายในบ่อและไม่สามารถออกไปภายนอกบ่อได้แล้ว โอกาสที่จะพบอนุภาคบริเวณภายนอกบ่อนั้นย่อมไม่มีหรือเป็นศูนย์

บริเวณ $\mathbf{II} (0 \leq x \leq L , V = 0)$

$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \, \dfrac{d ^2 \psi_{II}(x)}{d x^2}+(0)\psi_{II}(x) = E\psi_{II}(x)$

เนื่องจากพลังงานศักย์ในบริเวณภายในบ่อมีค่าเป็นศูนย์ สมการชเรอดิงเงอร์จึงลดรูปเหลือ

$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \, \dfrac{d ^2 \psi_{II}(x)}{d x^2} = E\psi_{II}(x)$

หรือ

$\dfrac{d ^2 \psi_{II}(x)}{d x^2} = -\dfrac{2mE}{\hbar^2} \psi_{II}(x)$ (9)

ให้ $k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ จะได้ว่า

$\dfrac{d ^2 \psi_{II}(x)}{d x^2} = - k^{2} \psi_{II}(x)$

สังเกตว่าสมการชเรอดิงเงอร์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่ 2 การหาผลเฉลยสามารถทำได้หลากหลายวิธี และหนึ่งในนั้นคือการเดาผลเฉลยขึ้นมาแล้วแทนลงไปในสมการตั้งต้น เมื่อแทนเข้าไปแล้วหากทำให้สมการเป็นจริงก็แสดงว่าผลเฉลยนั้นเป็นผลเฉลยของสมการตั้งต้น โดยในกรณีนี้ทดลองเดาผลเฉลยที่เมื่อหาอนุพันธ์สองครั้งแล้วได้กลับมาเป็นฟังก์ชั่นเดิมคือ

$\psi(x) = \left\{\begin{matrix} sin(kx) & \Rightarrow & \dfrac{d ^2 \sin(kx)}{d x^2} = -k^{2}\sin(kx) \\ cos(kx) & \Rightarrow & \dfrac{d ^2 \cos(kx)}{d x^2} = -k^{2}\cos(kx) \\ e^{\pm kx} & \Rightarrow & \dfrac{d ^2 e^{\pm kx}}{d x^2} = k^{2}e^{\pm kx} \end{matrix}\right.$

จะได้ว่าผลเฉลยที่เป็นไปได้มี 2 ฟังก์ชั่นด้วยกัน คือ $\sin$ และ $\cos$ เนื่องจากทำให้สมการตั้งต้นเป็นจริง ในขณะที่ ฟังก์ชั่น exponential นั้น เครื่องหมายที่ได้ออกมาเป็นบวกขัดกับสมการตั้งต้นที่จะต้องมีเครื่องหมายเป็นลบจึงไม่ใช่ผลเฉลยของสมการ ดังนั้นเราจะได้ผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์ในรูปทั่วไป คือ

$\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$ (10)