Boundary condition

Boundary condition

เงื่อนไขขอบเขต

เงื่อนไขขอบเขต (boundary condition) หมายถึง ฟังก์ชั่นคลื่น ( $\psi$ ) และอนุพันธ์ $\left ( \frac{d \psi}{d x} \right )$ ต้องมีค่าต่อเนื่องทุกแห่ง [Chirapatpimol:2010] นั่นคือรวมถึงบริเวณรอยต่อด้วย

พิจารณา ที่ $x = 0 \to \psi_{I} = \psi_{II}$

$0 = A \sin (0) + B \sin (0)$

นั่นคือ

จะได้ว่า

$\psi_{II}(x) = A \sin(kx)$ (11)

พิจารณา ที่ $x = L \to \psi_{II} = \psi_{III}$

$A \sin (kL) = 0$

โดย $\sin (kL) = 0$ เมื่อ $kL = n \pi$ หรือ

$k = \frac{n \pi}{L}$ (12)

เมื่อ

เป็นเลขจำนวนเต็มมีค่าตั้งแต่

และจะได้ฟังก์ชั่นคลื่นเป็น

$\psi_{II}(x) = A \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ (13)

ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการชเรอดิงเงอร์จึงกลายเป็น

$\psi_{n}(x) = \left\{\begin{matrix} A\sin(\frac{n\pi x}{L}) & 0 \leq x \leq L \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ (14)

เมื่อ

เป็นค่าคงที่ซึ่งหาได้จากการนอร์แมลไลเซชั่น

Infinite square well (particle in a box) - Slide.

[1] The Schrodinger equation in 1 D
[2] Infinite square well potential
[3] Solution of TISE
[4] Boundary condition
[5] Normalization
[6] Energy